Употребление буквы «э» в заимствованных словах обусловлено несколькими факторами:

• Передача гласного звука [э]. 1 Буква «э» используется в начале корня, в том числе в именах собственных: эврика, эпидемия, Этна, Эверест. 1
• Указание на твёрдость предшествующего согласного. 1 После согласных «э» передаёт гласный [э] и указывает на твёрдость предшествующего согласного: мэр, мэтр, пленэр, пэр, рэкет, рэп. 1
• Соответствие произношению. 2 В начале слов «э» и «е» пишутся в соответствии с произношением: эра, эллин, этика, экзамен, эвкалипт. 2
• Употребление после приставок или составных частей сложных и сложносокращённых слов. 1 Например: деэскалация, неэтичный, суперэлита, политэкономия. 1
• Использование в лексических единицах со второй частью -эдр. 1 Например: октаэдр, тетраэдр, полиэдр. 1

При этом существует много исключений, и варианты написания каждого нового заимствования колеблются между «э» и «е». 4