Разница между прощанием «до свидания» и «прощайте» заключается в значении, которое они несут:

• «До свидания» — это вежливая формула прощания, не подчёркивающая окончательность расставания. 1 Она намекает, что встреча неизбежна, что связь между людьми сохраняется. 1
• «Прощайте» — это слово, которое произносится в исключительных случаях, когда расставание окончательное. 1 Оно вмещает в себя грусть, печаль, финальность. 1

Таким образом, при намерении расстаться навсегда используется категоричное «прощайте», а при желании не разрывать отношения — уклончивое «до свидания». 5

Также «прощайте» используется, когда подразумевается местоимение «Вы» и может быть уважительной формой обращения к человеку, который социально выше по возрасту, положению и т. п.. 2