Разница между формальными и неформальными выражениями прощания заключается в их характере и уместности в зависимости от ситуации.

Формальные выражения прощания, например:

• Have a nice day или Have a good day («Хорошего дня!») — вежливый способ попрощаться со знакомыми, с коллегами, деловыми партнёрами. 1
• I look forward to our next meeting («С нетерпением жду нашей следующей встречи») — формальное выражение, которое подойдёт в случае намерения действительно продолжить общение с человеком. 1
• Farewell («Прощай навсегда» или «В добрый путь») — уместна в случае, если больше никогда не встретитесь со своим собеседником. 1

Неформальные выражения прощания, например:

• Take care («Береги себя») — как правило, говорят человеку, которого не увидят какое-то время или который намерен сделать что-то сложное. 1
• Until…/Until we meet again! («До следующей встречи») — выражение имеет менее формальную окраску, но его лучше использовать, когда точно знаешь, что снова увидишься с собеседником. 1
• «Пока» — просторечный вариант «до свидания», более неформальный и используется в неформальной обстановке. 3