Разница между богатством и правильностью речи заключается в их определениях и характеристиках.
Правильность речи — это соблюдение действующих норм языка: произношения, ударения, лексики, стилистики, морфологии, словообразования, синтаксиса. pubdoc.ru Правильность речи задана самой языковой структурой: чтобы говорить правильно, достаточно хорошо знать эту структуру. pubdoc.ru
Богатство речи — это разнообразие используемых языковых средств: большой объём активного словаря, разнообразие морфологических форм, синтаксических конструкций. pubdoc.ru Речь считается богатой, если в ней реже повторяются одни и те же слова, их значения, формы и конструкции предложений. gramota.ru
Таким образом, правильность речи фокусируется на соблюдении определённых норм, а богатство речи — на разнообразии используемых языковых средств.