Несколько версий, почему в конце разговора говорят «давай»:

• Это сокращённый вариант фраз «давай встретимся завтра» или «давай созвонимся вечером». 24 Так хотят показать собеседнику, что планируют встретиться вновь. 2
• Слово возникло по аналогии с «бывай» — словом, которое тоже нередко бросают в финале разговора. 2 Оно происходит от «будь» — счастливым, здоровым и т. д.. 2
• Слово связано с сигналом к рукопожатию: «давай пять!», впоследствии став его словесной заменой. 2
• Это недосказанное напутствие или пожелание: будь здоров, держись, не скучай и т. д.. 5