Почему тюркские народы называют женщину апайкой?

Возможно, имелось в виду слово «апа» (тюрк.) —  «старшая сестра», «тётя, тётка». cyberleninka.ru

Тогда «апайка» и «апаечка» — формы вежливого обращения к женщине, а также обозначение женщины башкирской или татарской национальности. cyberleninka.ru

Согласно этимологическому словарю русского языка Макса Фасмера, слово «апайка» произошло, вероятно, из крымско-татарского языка, где apai означает «старшая сестра». gufo.me dic.academic.ru