Несколько версий, почему люди говорят «давай» при прощании:

• Это сокращённый вариант фразы «давай встретимся завтра», «давай созвонимся вечером». 1 Так хотят показать собеседнику, что планируют встретиться вновь. 1
• Выражение возникло по аналогии с разговорным «бывай», которое тоже часто используют в финале разговора. 1 «Бывай» происходит от «будь» — будь счастливым, здоровым. 1
• Слово «давай» связано с сигналом к рукопожатию, мол, «дай пять!». 1

Также существует версия, что «давай» — это более мягкая форма прощания, означающая, что люди не прощаются, а остаются «на созвоне», «на связи», то есть, возможно, будут разговаривать в тот же день ещё раз. 3