В чем разница между консольным и клиентским приватом в современных онлайн-играх?

Возможно, имелись в виду понятия «консольные» и «клиентские» игры, а не «консольный» и «клиентский приватный».

Консольные игры — это игры для игровых консолей, таких как Sega, Sony Play Station, X-Box, Nintendo и другие. otvet.mail.ru

Клиентские игры — это игры, в которых связь с сервером происходит через специальную программу-клиент. otvet.mail.ru Такие игры можно запускать на ПК или консоли, они обычно однопользовательские. otvet.mail.ru

Возможно, имелись в виду понятия «приватные серверы» и «приватные игры».

Приватные серверы в онлайн-играх работают независимо от основной инфраструктуры разработчиков. help.sweb.ru На таких серверах пользователи могут изменять игровые правила, настройки, контент и даже интерфейс. help.sweb.ru Это позволяет создать уникальную версию игры. help.sweb.ru

Приватные игры в Steam, например, делают информацию о том, что игра есть у пользователя, а также о проведённом в ней времени, внутриигровом статусе и активности недоступной для других пользователей. help.steampowered.com