В чем разница между публичной и частной налоговой задолженностью?

Возможно, имелись в виду различия между налоговой задолженностью, которая связана с разными субъектами.

Публичная налоговая задолженность может относиться к публично-правовым образованиям, интересы которых представляют налоговые органы. zakon.ru Например, когда налоговые платежи не поступают в бюджет из-за неправомерных действий физического лица, налоговые органы выступают от имени публично-правового образования и обращаются в суд. zakon.ru

Частная налоговая задолженность может возникать у налогоплательщиков, в том числе у физических лиц. glavkniga.ru dzen.ru Например, если налоговый орган пропустит срок на обращение в суд, то он уже не сможет взыскать с физлица долг, и такая задолженность признаётся безнадежной к взысканию. glavkniga.ru

Таким образом, разница заключается в том, что публичная налоговая задолженность связана с интересами публично-правовых образований, а частная — с налогоплательщиками.