Разница между конным и конским клубом заключается в значении слов «конный» и «конский»:

• Конный клуб — это организация, предоставляющая услуги по верховой езде и досугу с лошадьми. 4 В нём проходят занятия по обучению и совершенствованию навыков верховой езды, соревнования по различным видам конного спорта. 2
• Конский — это прилагательное, означающее относящийся к одной лошади. 3 Например, конский хвост, конское ржанье, конский навоз. 3

Таким образом, конный клуб — это конкретное учреждение, а конский — более общее понятие, обозначающее что-то, связанное с лошадьми и их принадлежностью к одной конкретной особи. 37