Разница между hire и engage в контексте найма сотрудников заключается в следующем:

• Hire — нанимать на работу за деньги на определённый вид деятельности, как правило, на продолжительное время. 1 Например: «She decided to hire a private detective to find out who was blackmailing her» — «Она решила нанять частного детектива, чтобы обнаружить, кто её шантажировал». 1
• Engage — предоставлять кому-либо работу, нанимать (в официальной речи британского английского языка), особенно на короткий срок. 1 Например: «Paul was engaged as a junior clerk at a very low wage» — «Павла приняли на работу младшим клерком с очень низкой оплатой». 1

Таким образом, hire используется для общего обозначения найма на работу, в то время как engage — для более формального предоставления работы, когда человек не становится частью компании, но ему платят за выполнение определённых задач. 4