Несколько причин, по которым в общественном транспорте на окнах написано «запасный выход» именно с таким окончанием:

• Сохранение речевого клише. 12 Слово «запасный» — ровесник старославянской письменности, когда все прилагательные имели окончания -ый и -ий. 1 Поскольку в лингвистике существует понятие речевого клише, слово «запасный» сохранилось вне зависимости от новых правил и норм. 1
• Ограниченная сочетаемость. 1 Прилагательное «запасный» употребляется только в сочетании с существительными путь, полк и выход. 1 В сочетании с другими словами правильно употреблять слово «запасной». 1

Также существует версия, что написание «запасный» может быть связано с неправильным переводом с украинского языка: оригинальный вариант надписи на украинском — «запасний вихiд», при переводе первое слово заменили на «запасный». 3