Какие существуют виды животного кошководства в современном мире?

Возможно, имелись в виду виды семейства кошачьих. Некоторые из них:

Подсемейство малые кошки: panor.ru

• Род гепарды (Acinonyx) — гепард. panor.ru
• Род каракалы (Caracal) — каракал. panor.ru zoographia.ru
• Род катопумы (Catopuma) — калимантанская кошка, азиатская золотистая кошка (кошка Темминка). panor.ru zoographia.ru
• Род кошки (Felis) — китайская кошка, камышовый кот, манул, барханная кошка, черноногая кошка, лесная кошка (её подвид — домашняя кошка), степная кошка. panor.ru zoographia.ru
• Род тигровые кошки (Leopardus) — пампасская кошка, кошка Жоффруа, чилийская кошка, андская кошка, оцелот, онцилла, длиннохвостая кошка (марги, маргай). panor.ru
• Род сервалы (Leptailurus) — сервал. panor.ru zoographia.ru
• Род рыси (Lynx) — канадская рысь, обыкновенная рысь, пиренейская рысь, рыжая рысь. panor.ru zoographia.ru
• Род мраморные кошки (Pardofelis) — мраморная кошка. panor.ru
• Род азиатские кошки (Prionailurus) — бенгальская кошка, суматранская кошка, пятнисто-рыжая кошка, кошка-рыболов. panor.ru
• Род золотые кошки (Profelis) — золотая кошка. panor.ru
• Род пумы (Puma) — пума, ягуарунди. panor.ru zoographia.ru

Подсемейство большие кошки (Pantherinae): panor.ru

• Род дымчатые леопарды (Neofelis) — дымчатый леопард, калимантанский дымчатый леопард. panor.ru
• Род пантеры (Panthera) — лев, тигр, леопард, ягуар, снежный барс (ирбис, часто выделяется в отдельный род Uncia). panor.ru