Правильный вариант — «полощу бельё». 14 Это стилистически нейтральная форма глагола «полоскать» в первом лице единственного числа. 1
Форма «полоскаю», в свою очередь, считается разговорной и в части словарей отмечена пометкой «разг.» (разговорный вариант). 1