Имитировать время пребывания на сайте с помощью cURL можно, например, следующим образом: 2

1. Выполнить cURL-запрос на авторизацию, получить куки и с их помощью имитировать нужные действия. 2
2. Написать скрипт с использованием cURL, который парсит нужные ссылки и отправляет на эти сайты GET-запросы. 2 Перед переходом на следующую страницу делать паузу (например, с помощью команды sleep()). 2

Также для имитации пользовательских действий можно использовать headless-браузеры, такие как PhantomJS, так как для этого нужно исполнение JS-кода после загрузки страницы. 12

Ещё один вариант — спарить запросы от браузера к следящим скриптам и имитировать их после захода на сайт в рандомном порядке (например, запрос «двигаю мышкой», пауза в несколько секунд, запрос «скролл мышкой»). 1