Нет, английское слово «abuse» и русское «обуза» не имеют общего начала.

Этимология слова «abuse»: оно происходит от французских abuser («злоупотреблять») и abus («злоупотребление»), далее из латинского abusus («расходование; злоупотребление»). 23

Этимология слова «обуза»: древнерусское — обузъ (перевязка или колдовство), старославянское — обузъ (бремя). 4 В XIII веке произошло его слияние со словом «наузъ» (бремя), и с тех пор «обузой» называют обременительную, неприятную обязанность или тягостную заботу о ком-либо. 4