Чем отличается подача иска в магистратский суд от подачи иска в суд графства?

Возможно, имелись в виду суды в судебной системе Англии и Уэльса. Тогда можно сказать, что отличие подачи иска в магистратский суд и в суд графства заключается в сферах компетенции этих судов:

• Магистратский суд (Magistrates’ Court) — это суд первой инстанции по уголовным делам. ru.m.wikipedia.org В нём рассматривают дела меньшей тяжести и дела, связанные с несовершеннолетними, а также некоторые виды гражданских дел, в том числе касающиеся семейных вопросов. ru.m.wikipedia.org
• Суд графства (County Court) — это национальный суд с исключительно гражданской юрисдикцией. ru.m.wikipedia.org Он рассматривает большинство споров, как правило, в составе одного судьи (за исключением некоторых случаев, например, гражданских исков против полиции). zakon.ru

Таким образом, магистратский суд специализируется на уголовных делах, а суд графства — на гражданских.

При этом решения магистратов по гражданским делам могут быть обжалованы в судах графств. ru.m.wikipedia.org