Задача с международной математической олимпиады (2003). Как доказать, что все углы в шестиугольнике равны?

Решение задачи о равенстве углов в шестиугольнике из международной математической олимпиады 2003 года: problems.ru

1. Без ограничения общности можно считать, что главные диагонали AD и BE шестиугольника ABCDEF образуют угол π/3. problems.ru P — их точка пересечения. problems.ru
2. Воспользуемся леммой. problems.ru Пусть MN = /2(AB+DE), PM+PN = MN (M, N — середины сторон AB и DE соответственно). problems.ru Из леммы следует, что треугольники ABP и DEP равносторонние. problems.ru
3. Диагональ CF образует угол π/3 с диагональю AD либо с BE. problems.ru В силу симметрии, без ограничения общности можно считать, что AQF π/3, где Q — точка пересечения диагоналей AD и CF. problems.ru
4. Точно так же, как и раньше, воспользуемся леммой и получим, что треугольники AQF и CQD являются равносторонними. problems.ru Следовательно, BRC = π/3, где R — точка пересечения BE и CF. problems.ru
5. Аналогично устанавливается равносторонность треугольников BCR и EFR. problems.ru
6. Задача решена. problems.ru

Также для доказательства равенства углов выпуклого шестиугольника можно применить третий признак равенства треугольников. dzen.ru

Пользователь

Время добавления