Разница между теоремой Бернулли и современной формулировкой закона больших чисел заключается в следующем:

1. Теорема Бернулли гласит, что если вероятность события постоянна, то при неограниченном возрастании числа независимых испытаний частость появления события может принимать значения, сколь угодно близкие к его вероятности. 1
2. Современная формулировка закона больших чисел, данная П. Л. Чебышевым в 1846 году, утверждает, что если математические ожидания серии случайных величин и квадраты этих математических ожиданий ограничены в совокупности, то среднее арифметическое этих величин с ростом сходится по вероятности к среднему арифметическому для их математических ожиданий. 3

Таким образом, теорема Бернулли — это частный случай закона больших чисел, в то время как современная формулировка устанавливает более общие условия, при которых среднее арифметическое случайных величин приближается к определённым постоянным, неслучайным величинам. 5