В русском языке существуют оба варианта написания «по осеннему» и «по-осеннему», потому что они относятся к разным частям речи и для них действуют разные правила. 4

Слово «по осеннему» представляет собой прилагательное в дательном падеже, которое пишут с предлогом «по» раздельно. 4 Определить в тексте, что оно относится к прилагательному, просто: после него сразу будет стоять существительное в дательном падеже. 4

Слово «по-осеннему» пишут с дефисом, так как это наречие, образующееся от качественного прилагательного «весенний» с помощью приставки «по-» и суффикса «-ему-». 4

Таким образом, выбор правописания зависит от того, какой частью речи будет слово в предложении — наречием или прилагательным с предлогом. 5