Почему свободные группы считаются фундаментальными объектами в теории групп?

Свободные группы считаются фундаментальными объектами в теории групп по нескольким причинам:

• Универсальность. ru.wikipedia.org Свободная группа — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством. ru.wikipedia.org Для любой группы и любого отображения множеств существует единственный гомоморфизм групп, который связывает свободную группу с исходной. ru.wikipedia.org
• Связь с другими группами. www.physicsforums.com Каждая группа является частным из двух свободных групп. www.physicsforums.com Это подразумевает, что все группы имеют представление, где одни элементы — образующие, а другие — отношения. www.physicsforums.com Понимание таких представлений часто помогает понять саму группу. www.physicsforums.com
• Возможность использования в различных конструкциях. www.physicsforums.com Свободные группы позволяют строить, например, тензорные произведения неабелевых групп, которые полезны в теории гомотопий. www.physicsforums.com
• Применение в других областях. www.lomonosov-fund.ru Свободные группы могут быть реализованы как фундаментальные группы графов. www.lomonosov-fund.ru

Таким образом, универсальность, связь с другими группами и возможность применения в различных конструкциях делают свободные группы значимыми объектами в теории групп.