Почему происходит изменение направления производной при переходе через особые точки функции?

Изменение направления производной при переходе через особые точки функции происходит из-за особенностей касательных к графику функции в этих точках. 1

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. 1

Некоторые ситуации, когда производная меняет направление:

• Производная равна нулю. 1 Это происходит, когда тангенс угла наклона касательной тоже равен нулю, то есть касательная должна быть горизонтальной. 1
• Производная не существует. 1 Это случается, когда касательная — вертикальная линия, то есть угол наклона касательной по отношению к положительному направлению оси ОХ равен 90º. 1
• Функция меняет направление выпуклости. 14 Например, в точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую. 4

Также есть теоремы, связанные с изменением знака производной в точках экстремума: точка минимума — когда производная меняет знак с минуса на плюс, точка максимума — когда производная меняет знак с плюса на минус. 1