Написание «ничем» слитно, потому что это форма творительного падежа отрицательного местоимения «ничто», которое пишется слитно с приставкой «ни». 12 Пример: «Я вам ничем не обязан». 1

Написание «ни с чем» раздельно, потому что между «ни» и местоимением «чем» вставлен предлог. 13 Это один из случаев раздельного написания, когда между «ни» и местоимением внедряется предлог. 1

Таким образом, выбор написания зависит от контекста и того, каким местоимением является слово. 24