Матричное умножение не всегда коммутативно, потому что шаги для умножения значений различаются в зависимости от порядка. 1 Например, если матрица стоит первой, то для результата используется строка, а если второй — столбец, что и приводит к разным результатам. 2

Однако есть исключения из правила: если у квадратной матрицы существует обратная матрица, то их умножение коммутативно. 5 Также если произвольную матрицу умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица. 5

Ещё одна причина некоммутативности матричного умножения — то, что оно соответствует составу связанных линейных отображений, а состав (линейных) отображений не является коммутативным. 1

Таким образом, некоммутативность матричного умножения связана с особенностями самой операции и её связи с линейными преобразованиями. 12