Какие существуют альтернативные системы аксиом в современной математике?

Некоторые альтернативные системы аксиом в современной математике:

• Теория ZF Цермело — Френкеля с различными модификациями, в частности, с присоединённой к ней аксиомой выбора (этот вариант ZF имеет обозначение ZFC), и/или универсумом Гротендика. ru.wikipedia.org Для большинства математических задач теории ZF обычно бывает достаточно. ru.wikipedia.org
• Теория NBG фон Неймана — Бернайса — Гёделя. ru.wikipedia.org math.fandom.com Наряду с множествами эта система рассматривает классы объектов. math.fandom.com NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой. math.fandom.com
• Теория MK Морса — Келли. ru.wikipedia.org
• Теория Тарского — Гротендика (TG). ru.wikipedia.org
• «Новые основания» У. Куайна (NF). ru.wikipedia.org
• Позитивная теория множеств О. Эссера (GPK ∞ +). ru.wikipedia.org
• Конструктивные теории множеств, теории множеств для нестандартного анализа, «карманные теории множеств» и другие. ru.wikipedia.org

Также существует теория Ловера, которая описывает понятие категории автономно, без традиционной привязки к теории множеств. ru.wikipedia.org