Для вычисления определённых интегралов в различных областях науки используются как аналитические, так и численные методы. 1

Аналитические методы позволяют найти точное решение интегралов с помощью формул и теоретических подходов. 1 Некоторые из них:

• Прямое интегрирование. 1 Применяется для простых функций, таких как степенные функции, экспоненты, тригонометрические и логарифмические функции. 1
• Замена переменной. 12 Позволяет упростить сложный интеграл путём замены выражения на новую переменную, чтобы упростить структуру функции. 1
• Разложение на простейшие дроби. 1 Применяется для интегрирования рациональных дробей. 1 Суть метода заключается в разложении дроби на сумму более простых дробей, каждая из которых легко интегрируется. 1

Численные методы используются, когда интеграл невозможно выразить в виде элементарных функций. 1 Они позволяют получить приближённое значение интеграла с заданной точностью. 1 Некоторые из них:

• Метод прямоугольников. 14 Функция разбивается на равные интервалы, и вычисляется сумма площадей прямоугольников, образованных на каждом из них. 1
• Метод трапеций. 1 Вместо прямоугольников используется аппроксимация функции трапециями. 1
• Метод Симпсона. 1 Использует параболы для аппроксимации функции на каждом интервале. 1 Позволяет получить высокую точность даже при небольшом количестве интервалов. 1
• Метод Монте-Карло. 1 Применяется для интегрирования сложных функций в многомерных пространствах. 1 Основан на случайной выборке точек в заданной области и подсчёте среднего значения функции в этих точках. 1

Определённые интегралы находят применение в физике, экономике, инженерии, статистике и других областях. 3 Например, в физике они помогают вычислять работу, энергию и другие физические величины, которые зависят от непрерывных процессов. 3 В экономике интегралы используются для анализа накопленных затрат и доходов, а также для вычисления потребительского surplus. 3