Для вычисления комплексных корней кубического уравнения вручную можно использовать формулу Кардано. 25 Она позволяет найти корни кубического уравнения над полем комплексных чисел. 25

Алгоритм применения формулы: 2

1. Привести любое кубическое уравнение к виду x³+px+q=0. 2
2. Для каждого из трёх значений кубического корня (α) взять то значение корня (β), для которого выполняется условие αβ=−p/3 (такое значение корня (β) всегда существует). 2

В формуле Кардано числа p и q могут быть любыми комплексными. 2

Некоторые случаи и свойства корней уравнения, которые можно определить с помощью формулы Кардано:

• D>0. 2 Все три корня уравнения действительны и различны. 2 Корни выражаются через кубические радикалы с мнимыми подкоренными выражениями. 2
• D=0. 2 Все корни действительны. 2 При p и q, отличных от нуля, имеется один двукратный и один однократный корень, а при p=q=0 — один трёхкратный корень. 2
• D<0. 2 Все три корня различны. 2 Один корень является действительным, а два других — сопряжёнными мнимыми числами. 2