В евклидовой геометрии параллельные прямые и внешний угол треугольника связаны через теорему о внешнем угле треугольника, в которой говорится, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. 13

Доказательство теоремы, принадлежащее Евклиду, включает использование свойств параллельных прямых: 5

1. Дан треугольник ABC, нужно доказать, что его внешний угол ∠ACB равен сумме внутренних углов ∠BAC и ∠ABC. 5
2. Проводят через вершину C прямую линию DE, параллельную стороне AB. 5
3. Обозначают точку пересечения DE и продолжения BC как F. 5
4. Углы ∠BAC и ∠EDF равны как соответственные при параллельных AB и DE. 5
5. Углы ∠CAB и ∠ABF равны как накрест лежащие при параллельных AB и DE. 5
6. Значит, внешний угол ∠ACB складывается из этих двух равных ему углов ∠BAC и ∠ABC. 5 Теорема доказана. 5