Как развивалась теория групп и комбинаций в истории математики?
Развитие теории групп связано с несколькими направлениями в математике, которые развивались практически одновременно: 2
- Геометрия. 2 Работа Монжа, его ученика Карно, а также Понселе способствовала развитию понятий инвариантности и групп преобразований. 2
- Теория чисел. 2 Исследования Эйлера и Гаусса по модульной арифметике и работе с абелевыми группами заложили важные основания для будущей теории. 2 Эйлер в своих работах затронул идеи, связанные с группами и подгруппами, а Гаусс развил эти идеи, доказав, что для каждой подгруппы существует порядок, который делит порядок группы. 2
- Исследования в области алгебраических уравнений. 2 Работы Лагранжа по перестановкам корней уравнений дали первые намёки на связь между корнями и симметриями, хотя сам Лагранж не формулировал это в виде групп. 2 В дальнейшем Руффини, который занимался проблемой разрешимости уравнений пятой степени, сделал важный шаг, введя понятие групп перестановок и их классификации. 2
Поворотным моментом в развитии теории групп стали работы Галуа. 2 Он впервые связал структуру группы перестановок с алгебраическим решением уравнений. 2 Галуа также выделил подгруппы, которые теперь называются нормальными, и описал важные свойства групп, такие как разложение на смежные классы. 2
К концу XIX века, благодаря таким математикам, как Джордан, Кэли, Бетти и Кляйн, концепция групп окончательно оформилась. 2 Кэли, например, был первым, кто предложил абстрактное определение группы и построил таблицы умножения для групп, что стало важным шагом для дальнейшего развития теории. 2
В конце XIX и начале XX веков теория групп продолжала развиваться благодаря работе таких математиков, как Фробениус, Нетто и фон Дик, который формализовал понятие свободных групп и дал определения абстрактных групп через генераторы и соотношения. 2
Комбинаторика как научная дисциплина сформировалась в XVII веке. 1 После публикации Лейбницем в 1665 году работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой было представлено научное объяснение теории комбинации и перестановки, впервые и появилось определение комбинаторики. 1 Современную символику сочетаний предложили разные авторы учебных пособий лишь в XIX веке. 1
Основателем современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. 4