Как развивается алгоритмическая сложность при решении нелинейных уравнений высших степеней?

Алгоритмическая сложность при решении нелинейных уравнений высших степеней может развиваться из-за нелинейности уравнений и возможности существования множества решений или их отсутствия. ai.mitup.ru

Некоторые трудности, с которыми сталкиваются при решении нелинейных уравнений:

• Отсутствие гарантии сходимости. ai.mitup.ru Итерационные методы не всегда сходятся, особенно при плохом начальном приближении или при наличии сингулярностей. ai.mitup.ru
• Множественность решений. ai.mitup.ru Система может иметь несколько решений, и итерационный метод найдёт только одно из них, зависящее от начального приближения. ai.mitup.ru
• Чувствительность к параметрам. ai.mitup.ru Скорость и успешность сходимости могут сильно зависеть от выбора шага, критериев остановки и других параметров метода. ai.mitup.ru
• Вычислительная сложность. ai.mitup.ru Для больших систем вычисление и обращение матрицы Якобиана (в методах типа Ньютона) может быть очень затратным. ai.mitup.ru
• Проблема вырождения. ai.mitup.ru Если матрица Якобиана становится вырожденной или плохо обусловленной вблизи решения, это может привести к нестабильности или невозможности дальнейшего решения. ai.mitup.ru

Для улучшения сходимости метода и скорости его работы применяют, например, методы декомпозиции исходной задачи: решают не всю систему уравнений целиком, а несколько небольших систем уравнений. habr.com

Также важно учитывать, что не всякое уравнение может быть решено точно. intuit.ru Доказано, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решать произвольные алгебраические уравнения степени, выше четвёртой. intuit.ru