Метод математической индукции при решении уравнений работает в три этапа: 2

1. Проверка верности исходного утверждения для произвольного натурального значения n (обычно начинают с n = 1). 3 Этот этап называют базисом индукции. 3
2. Предположение, что утверждение верно при n = k. 3 Этот этап называют предположением индукции. 3
3. Доказательство, что из верности утверждения при n = k следует верность утверждения при n = k + 1. 3 Этот этап называют шагом индукции или переходом индукции. 3

Пример применения метода математической индукции — доказательство, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел кратна 9. 3

Доказательство: 3

1. n = 1; 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36. 3 36 — кратно 9, значит утверждение справедливо при n = 1. 3
2. Предположим, что утверждение верно и для n = k, то есть: k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3 = 9p, p — некое натуральное число. 3
3. Докажем, что утверждение справедливо для n = k + 1: 3 (k + 1)^3 + (k + 2)^3 + (k + 3)^3 = (k + 1)^3 + (k + 2)^3 + k^3 + 9k^2 + 27k + 27. 3Каждое из трёх слагаемых полученной суммы кратно 9, а значит и всё число кратно 9, что и требовалось доказать. 3