Как применяются полные квадраты в криптографии и других областях математики?

Возможно, имелись в виду магические или латинские квадраты.

Магические квадраты применялись для вписывания шифруемого текста по приведённой в них нумерации. nsportal.ru multiurok.ru При этом требовалось, чтобы сумма всех элементов совпадала в каждой строке и столбце и на диагоналях, а сами числа не повторялись во всём квадрате. habr.com elbrusboot.camp

Латинские квадраты используются в криптографии, протоколах шифрования, в расчётах, которые предваряют научные исследования, и в других областях. habr.com elbrusboot.camp В таких квадратах набор чисел в каждой строке и столбце одинаковый, меняется только их порядок. habr.com elbrusboot.camp

Некоторые примеры применения латинских квадратов в криптографии:

• Шифр Тритемия. cyberleninka.ru Тритемий построил таблицу и использовал её для многоалфавитного шифрования, когда первая буква открытого текста шифруется первым алфавитом (первой строкой таблицы), вторая — вторым и т. д.. cyberleninka.ru
• Протокол потокового шифрования Edon80. habr.com elbrusboot.camp Разработчики шифра использовали в своём алгоритме конвейер из 80 специально подобранных латинских квадратов. habr.com
• Схемы разделения секрета. cyberleninka.ru Секретом в такой схеме является латинский квадрат, а все участники получают соответствующие ему частичные квадраты. cyberleninka.ru

Кроме того, латинские квадраты используются в играх: например, поле «Судоку» — классический пример реализации такой матрицы. habr.com elbrusboot.camp