Как применять методы математической индукции для доказательства неравенств?

Применение метода математической индукции для доказательства неравенств осуществляется в три этапа: 3

1. Проверка базы. 25 Нужно показать, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев (обычно для n=1). 5
2. Предположение. 5 Предполагают, что утверждение доказано для первых k случаев. 5
3. Шаг. 5 В этом предположении доказывают утверждение для случая n=k+1. 5
4. Вывод. 5 Утверждение верно для всех случаев, то есть для всех n. 5

Пример применения метода математической индукции для доказательства неравенства Бернулли: 1

1. При n=1 неравенство очевидно верно. 1
2. Предположим, что неравенство справедливо для n, и докажем его справедливость для n+1. 1

Ещё один пример — доказательство того, что при любом натуральном n>1: 5

1. Обозначим левую часть неравенства через. 5
2. При n=2 неравенство справедливо. 5
3. Пусть при некотором k. 5 Докажем, что тогда и. 5
4. Сравнивая и, имеем, то есть. 5
5. При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. 5
6. Но, значит, и. 5
7. Мы доказали справедливость неравенства при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, неравенство справедливо для любого натурального n>1. 5