Как применяется производная для нахождения оптимальной формы прямоугольного участка земли?

Производная применяется для решения задач на оптимизацию, в которых нужно найти такое значение одной величины, при котором другая величина принимает наименьшее или наибольшее значение. ru.ruwiki.ru cyclowiki.org

Пример задачи: периметр прямоугольного участка земли равен 400 метрам. ru.ruwiki.ru cyclowiki.org Нужно определить, какую длину должны иметь стороны участка, чтобы его площадь была наибольшей. ru.ruwiki.ru cyclowiki.org

Решение: ru.ruwiki.ru

1. Обозначим стороны участка a и b. ru.ruwiki.ru
2. Выразим b через a: b = 200 − a. ru.ruwiki.ru
3. Вычислим площадь прямоугольника: S = a b = a (200 − a) = −a² + 200a. ru.ruwiki.ru
4. Приравняем производную выражения для площади прямоугольника к нулю и найдём корни получившегося уравнения: S' = −2a + 200 = 0, a = 100 метров. ru.ruwiki.ru
5. Тогда b = 200 − a = 100 метров. ru.ruwiki.ru

Ответ: площадь участка земли будет наибольшей при равенстве его сторон (квадрат), длина каждой стороны составит 100 метров. ru.ruwiki.ru