Выбор между «будем» и «будим» зависит от контекста. 1
Глагол «будем» используется в значении «быть» и передаёт будущее время. 14 Пример: «Сегодня будем изучать новую тему, поэтому достаньте свои учебники». 1
Глагол «будим» используется в значении «будить». 1 Пример: «Пора будить братьев, нам уже скоро выходить в лес за грибами». 1
Таким образом, если речь идёт о действии в будущем, то пишется «будем», а если о намерении разбудить кого-либо, то — «будим». 1
Также «будем» — форма будущего времени первого лица множественного числа изъявительного наклонения глагола «быть». 2