Как непрерывные дроби применяются в теории чисел?

Непрерывные дроби широко применяются в теории чисел. 4 Некоторые области использования:

• Приближение иррациональных чисел рациональными. 3 Например, с помощью непрерывных дробей было получено первое доказательство иррациональности чисел e и π (немецкий математик И. Ламберт, 1766). 3
• Решение уравнений и систем уравнений. 15 На базе непрерывных дробей построены эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределённых уравнений, уравнений рекуррентного типа и других типов уравнений. 1
• Нахождение приближённых представлений функций. 1 Такие приближения заменяют исходную функцию в тех областях изменения аргумента, где разложение этой функции в степенной ряд расходится. 1
• Извлечение корней. 12 Теория матричных ветвящихся непрерывных дробей позволяет решать задачи извлечения квадратного корня, корня третьей, четвёртой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц. 1
• Поиск закономерностей в последовательности цифр. 5 Например, при исследовании периода десятичной дроби непрерывные дроби могут помочь в поиске закономерностей в последовательности цифр. 5

Непрерывные дроби также используются в вычислительной технике, физике, небесной механике и других прикладных сферах деятельности. 4