Как использовать теорему Эрдёша-Галлаи в анализе последовательностей степеней графов?

Теорема Эрдёша-Галлаи — утверждение в теории графов, задающее условие, при котором конечной последовательности натуральных чисел можно сопоставить степени вершин некоторого графа. moluch.ru ru.ruwiki.ru

Использование теоремы Эрдёша-Галлаи в анализе последовательностей степеней графов заключается в следующем:

1. Определение правильной последовательности. moluch.ru Это последовательность натуральных чисел длины n, удовлетворяющая условиям: n−1 ≥ d1 ≥ d2 ≥ … ≥ dn, сумма чисел чётная. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org
2. Определение графической последовательности. moluch.ru Это последовательность целых неотрицательных чисел такая, что существует граф, последовательность степеней вершин которого совпадает с ней. moluch.ru
3. Проверка неравенства Эрдёша-Галлаи. moluch.ru Для каждого члена уже отсортированного массива проверяется неравенство. moluch.ru При его невыполнении необходимая разница (для того, чтобы неравенство стало верным) прибавляется к правой части, либо отнимается от левой. moluch.ru При этом так, чтобы последовательность оставалась невозрастающей. moluch.ru
4. Получение верного массива. moluch.ru На выходе получается верный массив степеней вершин. moluch.ru
5. Заполнение графа дугами. moluch.ru Заполнение идёт по схеме: наибольшее — наименьшему, то есть нужно идти с начала массива и каждую вершину связывать с вершинами с наименьшей степенью (если они уже не соединены). moluch.ru

Построить граф по графической последовательности можно полиномиальным алгоритмом, который строится на основании критерия Гавела — Хакими. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org