Архимед использовал касательные для изучения кривых следующим образом:

• Исследовал плоскую кривую, известную как архимедова спираль. 4 Учёный нашёл первый обобщённый способ поиска касательных к гиперболе, параболе и эллипсу. 4
• Научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям). 5 Нашёл площадь её витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объёмы шара и сферического сегмента. 5
• Для нахождения максимума произведения двух функций рассматривал две кривые, которые получались разведением в разные стороны множителей, и искал такое их расположение, при котором они будут иметь общую касательную. 2