Разница в употреблении «at the weekend» и «on the weekend» связана с разными представлениями о времени: 5

• Американцы воспринимают выходные как конкретное событие (наподобие дней недели: on Monday, on Friday, on the weekend). 15
• Британцы считают выходные временным промежутком, близким к концу недели (как при разговоре о конце чего-либо ещё: at the end of the day). 1

Таким образом, британцы используют «at the weekend», потому что делают акцент на части недели, а американцы — «on the weekend», так как думают о выходных как о днях. 1

При этом оба выражения правильны и обозначают один и тот же период (обычно субботу и воскресенье). 3