Леонид Кулагин пришёл в театр через детство: в шесть лет он впервые вошёл в театр, так как его отец работал электриком в драматическом театре имени Горького в Нижнем Новгороде (тогда — Горький). 12

В 1960 году Кулагин окончил театральную студию при Горьковском государственном театре драмы имени Максима Горького и после обучения поступил в труппу театра. 5

В кино Леонид Кулагин попал случайно: в 1966 году артиста Брянского драматического театра неожиданно пригласили на «Мосфильм» на пробы к режиссёру Андрею Смирнову. 4 Ассистентка Смирнова наткнулась на фотографию Кулагина в картотеке и отправила ему вызов на пробы. 4 Изначально планировалось, что Кулагин сыграет какой-нибудь эпизод, но Андрей Смирнов, присмотревшись к артисту повнимательнее, неожиданно утвердил его на главную роль комиссара Парфенова в фильм «Ангел». 4

Впервые в главной роли зрители увидели Кулагина в картине Андрея Кончаловского «Дворянское гнездо» по роману Тургенева. 13