Family name и surname в англоязычных странах означают одно и то же. 4

Surname — это фамилия, которая обычно ставится в конце полного имени человека, после любых личных имён. 1

Family name — это общее имя семьи, которое может не обязательно совпадать с фамилией. 2

При этом есть мнение, что surname более формальный термин. 4