Нет, слова «такси» и «такса» не являются родственными. 1

Слово «такси» происходит от французского taximètre («счётчик цены»), которое, в свою очередь, образовано от латинского taxa («цена»). 12 А название породы «такса» пошло от немецкого Dachshund («барсучья собака») и от корня Dachs. 12