Разрешена ли в каких-либо случаях парковка на тротуаре?

Да, в некоторых случаях парковка на тротуаре разрешена: avtocod.ru auto.ru

1. Для легковым автомобилям, мотоциклам и мопедам, если тротуар граничит с проезжей частью и сопровождается знаком 6.4 «Парковка», а также знаками 8.6.2, 8.6.3, 8.6.6–8.6.9, указывающими, как парковаться на бордюре. avtocod.ru
2. В случае форс-мажора, например, если водителю стало плохо или сломалась машина. avtocod.ru Важно, чтобы автомобиль не мешал пешеходам и не создавал опасность для них, то есть нужно исключить самопроизвольное движение, включить аварийку и поставить аварийный знак. avtocod.ru

Также заезд на тротуар разрешён водителям спецмашин, например, пожарной техники или скорой помощи. auto.ru Ещё через тротуар может проехать транспорт, который доставляет посылку к магазину или почте, но только при условии, что другого пути нет. auto.ru

За парковку на тротуаре положен штраф 1000 рублей, а в Москве и Санкт-Петербурге — 3000 рублей. journal.tinkoff.ru