Да, какое-то утверждение может быть принципиально недоказуемым. 12

Согласно теореме Гёделя о неполноте, в каждой достаточно сложной непротиворечивой теории, включающей в себя формальную арифметику, имеется недоказуемое утверждение. 23

Некоторые примеры таких утверждений:

• 5-й постулат Евклида недоказуем с помощью остальных аксиом классической геометрии; 2
• аксиома выбора и континуум-гипотеза недоказуемы в теории множеств с аксиоматикой Цермело — Франкеля (ZF); 2
• теорема Париса–Харрингтона недоказуема в арифметике Пеано. 2