Да, уведомление о входе в аккаунт «ВКонтакте» придёт, даже если на телефоне не включён интернет. yandex.ru
Чтобы на устройство приходили уведомления, приложению нужно разрешить работать в фоновом режиме. m.nn.ru При этом оно не будет ставить аккаунту статус «онлайн», пока пользователь сам не откроет приложение или браузер и не зайдёт на свою страницу. m.nn.ru