Чем отличается работа каюра от каюрщика?

Возможно, имелись в виду синонимы — каюр и каюрщик. dic.academic.ru sanstv.ru

Каюр — это погонщик собак или оленей, запряжённых в нарты. journal.sovcombank.ru sanstv.ru Основная задача — работать с туристами, сопровождать желающих прокатиться или управлять нартами. journal.sovcombank.ru Также в обязанности каюра входит забота о животных: кормление и тренировки. journal.sovcombank.ru

Каюрщик — это возчик, ямщик, проводник или кучер при езде на собаках. dic.academic.ru ru.wikisource.org

Таким образом, отличия в названии профессии отсутствуют, так как и «каюр», и «каюрщик» обозначают одну и ту же деятельность.